高副非圆齿轮彼得罗夫方程开槽沉头螺钉成组试验法传统的MLPG法针对移动最 小二乘近似的权函数和检验 函数在迎风和下风捕捉相同 的信息； 修正过程中，保持权函数不 变，对检验函数进行迎风修 正； 采用如图所示的偏移权重法 来实现对上游信息的有效捕 捉，其原理是检验函数的最 大值位置沿迎风方向偏移。
在计算域内取个离散点，设为方程的一个近似解，称为试 探函数，它可以表示为一组已知函数的线性组合，即：
选择N个权函数，在计算域上令方程的余量分别与权函数Wi 正交，即内积为0 ：
目前辐射换热问题涉及到许多边界移动或不确定的问题： 火焰、喷焰动态边界，耦合换热相变换热中的动态边界； 辐射反问题研究中的几何边界反问题。 传统方法对网格存在依赖性，对求解域边界连续变化、求解 域内部有局部大梯度，不连续的问题求解需要不断的进行网 格的初置和重构，这大大束缚了辐射换热问题的研究。 针对这类问题，研究和发展一类不依赖于网格的辐射传递 求解方法具有重要的理论和实际意义。
解出待定系数a和b后，近似函数可进一步表示为形函数与 支撑域内各节点函数值的线性组合：
有限差分法和有限元法对方程的离散是建立在事先设 置的网格基础上的，因而在分析涉及大变形问题时将面临 因网格畸变而产生的许多困难。 无网格法正是在这一背景下提出来的。近十几年来无 网格法的研究受到了高度重视，已成为国际计算力学界的 研究热点。最近几年无网格法也开始用于计算传热问题。
在支撑域内的每个节点定义一个权函数Wi(x)，该函数只在 支撑域内大于零，则域内节点余量加权平方和可表示为：
与有限元法相比，无网格法的近似函数不依赖于网 格，因此在分析涉及大变形问题时有很大的优势。无网格 法采用基于点的近似，可以彻底或部分地消除网格，因而 不需要网格的初置和重构，不仅可以保证计算精度，而且 可以减少计算的难度。
经过近十几年的发展，目前已提出了十余种无网格方 法。它们之间的区别主要在于所使用的试函数和微分方程 的等效形式。
在求解域内布置N个离散节点，设置节点支撑域，使用移动 最小二乘近似在支撑域内构造试函数，在局部子域使用检验 函数完成离散坐标方程局部弱形式的构造。
数值模拟结果分析引入最大相对误差和相对误差两个参量： 最大相对误差 = max 相对误差
由于没有网格的束缚，特别适合hp自适应分析： h型：在高梯度、不连续区域插入或增加离散点； p型：保持节点数量、分布、覆盖大小均不变，增加高误 差区域覆盖函数的多项式阶次。 无网格法经常用于： 不连续问题：如动态裂纹扩展、高速冲击； 界面滑移：如相变换热中的移动的相界面； 动态边界：如喷焰不断变化的界面、或汽缸内的燃烧等问 题的处理。
二维正方形黑体空腔 腔内为均匀吸收、发射性介 质，介质温度Tg，壁面温度 为0K，光学厚度为1； 空间立体角离散方向数S8， 多项式基函数取二次基； 分别取121、256、441、676 和961节点，研究MLPG法 的收敛性，数值模拟曲线基 本重合； 节点数为441个时，数值模 拟结果产生数值振荡。
移动最小二乘近似是最常用的 构造试函数的方法，其本质是: 在支撑域Vx 内,计算点x的近似 函数是待求函数u(x)在最小二 乘意义下的局部最佳近似； 设支撑域内有n个节点，各节 点函数值ui= u(xi)已知，近似函 数在支撑域内可表示为多项式 基函数和待定系数的线性组 合：
试函数构造方法：移动最小二乘近似、重构核近似、 hp云团、径向点插值、单位分解近似； 微分方程离散方法：伽辽金法、配点法、彼得罗夫伽 辽金法、最小二乘配点法、加权最小二乘法。 不同的试函数构造方法和微分方程离散方案的组合就 是一种无网格法
使用径向基函数和多项式基函数联合构造的径向点插值函 数可表示为： n k
1、离散坐标方程： 离散坐标方程为对流扩散方程的特例，对流项的存 在经常导致数值模拟结果振荡； 2、MLPG法： MLPG法求解过程中，边界节点的局部子域有一部 分区域位于求解域外，在积分构造局部弱形式的时候， 该部分不参与计算，使得积分信息大量减少，这也是造 成数值模拟结果不稳定的原因。
径向点插值是以径向基函数作为基本构造函数。 径向基函数是以点到节点的距离为自变量的函数，它具有 形式简单、与空间维数无关等特点，是多变量逼近理论中 的有力工具。 0.5
MLPG 法 检 验 函 数 与 试 函 数可以取自不同空间，试 函数在节点支撑域内构 造，在局部子域使用检验 函数积分完成局部弱形式 的构造。
根据上式求得待定系数a；在此引入类似于有限单元法的 参量形函数，则在计算点支撑域内的加权最小二乘意义下 的局部最佳近似函数可表示为：
1. 无网格法产生的背景、基本原理及其特点 2. 微分方程无网格法离散的基本过程 3. 求解辐射传递方程的局部彼得罗夫伽辽金无网格法 4. 求解辐射传递方程的最小二乘配点无网格法 5. 求解瞬态辐射传递方程的无网格法 6. 辐射与导热耦合换热问题求解的无网格法 7. 无网格法在几何反设计中的应用
一维黑体平板间辐射平衡问题： 左侧平板温度为1000K，右侧为0K，使用21个节点离散求解域 角度方向数取S8，多项式基函数为二次基。